7 Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawaban Pembahasannya Lengkap

JAKARTA, iNews.id - Contoh soal induksi matematika penting untuk diketahui siswa SMA. Berikut contoh soal dan pembahasannya agar bisa dipahami jelang US atau Ujian Sekolah 2023/2024.

Melansir buku \'Matematika SMA dan MA\' terbitan Esis, induksi matematika adalah pembuktian dari hal yang khusus ke hal yang umum. Langkah-langkah pembuktiannya adalah sebagai berikut:

-Buktikan bahwa teorema atau rumus adalah benar untuk n = 1
-Misalkan teorema atau rumus benar untuk n = k. Kemudian, buktikan bahwa teorema atau rumus juga benar untuk n = k + 1

Akibat dari 1 dan 2, teorema atau rumus berlaku untuk n = 2, 3, 4, ...
Jadi, rumus atau teorema benar untuk semua n bulat positif.

Contoh Soal Induksi Matematika

1. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 2^n > n.

Jawaban 1:
Basis Induksi (n = 1):
Ketika n = 1, 2^1 = 2, dan 2 > 1. Pernyataan benar.

Langkah Induksi (asumsi induksi):
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 2^k > k.

Langkah Induksi (langkah induksi):
Buktikan untuk n = k + 1, yaitu 2^(k+1) > k + 1.
2^(k+1) = 2^k * 2 > k * 2 (karena 2 > 1)
k * 2 > k + 1 (karena k > 1)
Dengan demikian, pernyataan benar untuk n = k + 1.

Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.

2. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2.

Jawaban 2:
Basis Induksi (n = 1):
Ketika n = 1, 1 = 1^2. Pernyataan benar.

Langkah Induksi (asumsi induksi):
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k^2.

Langkah Induksi (langkah induksi):
Buktikan untuk n = k + 1, yaitu 1 + 3 + 5 + ... + (2(k+1)-1) = (k+1)^2.
1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + (2(k+1)-1)
= k^2 + 2k + 1
= (k+1)^2

Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.

3. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 7^n - 1 adalah kelipatan 6.

Jawaban contoh soal induksi matematika:
Basis Induksi (n = 1):
Ketika n = 1, 7^1 - 1 = 6, dan 6 adalah kelipatan 6. Pernyataan benar.

Langkah Induksi (asumsi induksi):
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 7^k - 1 adalah kelipatan 6.

Langkah Induksi (langkah induksi):
Buktikan untuk n = k + 1, yaitu 7^(k+1) - 1 adalah kelipatan 6.
7^(k+1) - 1 = 7^k * 7 - 1
= (6 + 1)^k * 7 - 1 (dengan asumsi induksi)
= 6m + 7 - 1 (dalam bentuk kelipatan 6)
= 6m + 6
= 6(m + 1)

Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.

4. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 3^n + 5^n adalah kelipatan 8.

Jawaban 4:
Basis Induksi (n = 1):
Ketika n = 1, 3^1 + 5^1 = 8, dan 8 adalah kelipatan 8. Pernyataan benar.

Langkah Induksi (asumsi induksi):
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 3^k + 5^k adalah kelipatan 8.

Langkah Induksi (langkah induksi):
Buktikan untuk n = k + 1, yaitu 3^(k+1) + 5^(k+1) adalah kelipatan 8.
3^(k+1) + 5^(k+1) = 3 * 3^k + 5 * 5^k
= 3 * (3^k + 5^k) + 2 * 5^k
= 3 * (3^k + 5^k) + 2 * (4 + 1)^k (dengan asumsi induksi)
= 3 * (3^k + 5^k) + 2 * (4^k + k * 4^(k-1) + 1) (berdasarkan ekspansi binomial)
= 3 * (3^k + 5^k) + 2 * 4^k + 2 * k * 4^(k-1) + 2
= 8m + 2 * k * 4^(k-1) + 2
= 8(m + k * 4^(k-2) + 1)

Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.

5. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 4^n - 1 adalah kelipatan 3.

Jawaban 5:
Basis Induksi (n = 1):
Ketika n = 1, 4^1 - 1 = 3, dan 3 adalah kelipatan 3. Pernyataan benar.

Langkah Induksi (asumsi induksi):
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 4^k - 1 adalah kelipatan 3.

Langkah Induksi (langkah induksi):
Buktikan untuk n = k + 1, yaitu 4^(k+1) - 1 adalah kelipatan 3.
4^(k+1) - 1 = 4 * 4^k - 1
= (3 + 1) * 4^k - 1
= 3 * 4^k + 4^k - 1
= 3 * (4^k - 1) + 4^k - 2
= 3 * (4^k - 1) + (3 + 1) - 2
= 3 * (4^k - 1) + 3
= 3 * (4^k - 1 + 1)

Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.

6. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 11^n - 6^n adalah kelipatan 5.

Jawaban 6:
Basis Induksi (n = 1):
Ketika n = 1, 11^1 - 6^1 = 11 - 6 = 5, dan 5 adalah kelipatan 5. Pernyataan benar.

Langkah Induksi (asumsi induksi):
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 11^k - 6^k adalah kelipatan 5.

Langkah Induksi (langkah induksi):
Buktikan untuk n = k + 1, yaitu 11^(k+1) - 6^(k+1) adalah kelipatan 5.
11^(k+1) - 6^(k+1) = 11 * 11^k - 6 * 6^k
= 5 * 11^k + 11^k - 5 * 6^k
= 5 * (11^k - 6^k) + 11^k
= 5 * (11^k - 6^k + 1)

Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.

7. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 2^n + 3^n adalah kelipatan 5.

Jawaban 7:
Basis Induksi (n = 1):
Ketika n = 1, 2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5, dan 5 adalah kelipatan 5. Pernyataan benar.

Langkah Induksi (asumsi induksi):
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 2^k + 3^k adalah kelipatan 5.

Langkah Induksi (langkah induksi):
Buktikan untuk n = k + 1, yaitu 2^(k+1) + 3^(k+1) adalah kelipatan 5.
2^(k+1) + 3^(k+1) = 2 * 2^k + 3 * 3^k
= 2 * (2^k + 3^k) + 3 * 3^k
= 2 * (2^k + 3^k) + 3 * (4 - 1)^k (dengan asumsi induksi)
= 2 * (2^k + 3^k) + 3 * (4^k - k * 4^(k-1) + 1) (berdasarkan ekspansi binomial)
= 2 * (2^k + 3^k) + 3 * 4^k - 3 * k * 4^(k-1) + 3
= 5m + 3 * (4^k - k * 4^(k-1) + 1)
= 5m + 3 * (4^k - k * 4^(k-1) + 1 - k + k)
= 5m + 3 * (4^k - (k - 1) * 4^(k-1) + k)

Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.

Demikian contoh soal induksi matematika dan jawabannya. Semoga bisa dipahami ya!