Contoh Soal Parabola Matematika dan Pembahasannya

epanrita.net Parabola merupakan salah satu materi matematika yang sering menjadi momok bagi sebagian siswa. Namun, jika kamu memahami konsep dasarnya dengan baik, kamu akan lebih mudah untuk menguasai materi ini. Di dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal parabola matematika beserta pembahasannya secara lengkap dan mudah dipahami.

Pendahuluan

Pendahuluan ini akan membahas tentang apa itu parabola dan beberapa istilah yang sering digunakan dalam materi ini.

Apa itu Parabola?

Parabola adalah kurva yang terbentuk dari titik-titik yang memiliki jarak yang sama dari titik tertentu, yang disebut fokus, dan garis yang disebut dengan direktrix. Parabola merupakan salah satu kurva kuadratik yang paling sering digunakan dalam matematika.

Istilah-istilah dalam Parabola

Beberapa istilah yang sering digunakan dalam materi parabola adalah sebagai berikut:

Contoh Soal Parabola Matematika

Berikut adalah contoh soal parabola matematika yang dapat kamu pelajari untuk memperdalam pemahamanmu tentang materi ini.

Contoh Soal 1

Tentukan persamaan parabola yang memiliki fokus (3,0) dan direktiks x = -3.

Pembahasan

Kita dapat menentukan nilai p menggunakan rumus p = 1/2d, di mana d adalah jarak antara fokus dan direktiks. Dalam hal ini, d = |-3-3| = 6, sehingga p = 1/2(6) = 3.

Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus umum parabola y^2 = 4px untuk menentukan persamaan parabola. Dalam hal ini, karena fokus berada di sebelah kanan dari direktiks, maka parabola berbentuk seperti ini:

(y 0)^2 = 4(3)(x 3)
y^2 = 12(x 3)

Sehingga persamaan parabola yang dicari adalah y^2 = 12(x 3).

Contoh Soal 2

Tentukan titik potong parabola y = x^2 4x + 3 dengan sumbu x.

Pembahasan

Titik potong dengan sumbu x berarti titik pada parabola di mana nilai y sama dengan nol. Oleh karena itu, kita dapat menyelesaikan persamaan y = x^2 4x + 3 = 0 untuk mencari titik potongnya.

x^2 4x + 3 = 0
(x 1)(x 3) = 0

Sehingga, titik potong dengan sumbu x adalah x = 1 dan x = 3. Untuk menentukan titik potong dengan sumbu y, kita dapat mengganti nilai x dengan nol pada persamaan parabola, sehingga:

y = (0)^2 4(0) + 3
y = 3

Sehingga, titik potong dengan sumbu y adalah (0, 3).

Contoh Soal 3

Tentukan persamaan parabola yang melalui titik (1,4) dan memiliki sumbu simetri x = 2.

Pembahasan

Sumbu simetri x = 2 artinya parabola berbentuk seperti ini:

(y k)^2 = 4p(x h)

dengan h = 2 dan k adalah titik tengah parabola. Oleh karena itu, kita dapat menentukan k dengan cara mencari titik tengah dari titik yang diketahui dan sumbu simetri. Dalam hal ini, titik tengah adalah (2,k) dan titik yang diketahui adalah (1,4), sehingga:

2 = (1 + x) / 2
x = 3

k = (4 + y) / 2
y = 2k 4

Selanjutnya, kita dapat menentukan nilai p dengan menggunakan persamaan jarak antara titik (1,4) dan fokus (h + p, k) yang harus sama dengan jarak antara titik (1,4) dan direktiks x = h p. Dalam hal ini, d = |-1| = 1, sehingga:

(1 3 p)^2 + (4 k)^2 = (1 2 + p)^2
p = 1

Sehingga persamaan parabola yang dicari adalah:

(y (2k 4))^2 = 4(1)(x 2)
(y 2k + 4)^2 = 4(x 2)

Contoh Soal 4

Tentukan fokus, direktiks, dan titik potong sumbu y dari parabola y = 2(x + 3)^2 + 5.

Pembahasan

Parabola dalam bentuk ini: y = a(x h)^2 + k, dengan h dan k adalah titik tengah parabola. Oleh karena itu, h = -3 dan k = 5.

Selanjutnya, kita dapat menentukan nilai p dengan rumus p = 1/4a. Dalam hal ini, a = 2, sehingga p = 1/4(2) = 1/2.

Sehingga, fokus berada di titik (-3 + 1/2, 5) = (-5/2, 5) dan direktiks adalah garis x = (-3 1/2) = -7/2.

Untuk menentukan titik potong dengan sumbu y, kita dapat mengganti nilai x dengan nol pada persamaan parabola, sehingga:

y = 2(0 + 3)^2 + 5
y = 23

Sehingga, titik potong dengan sumbu y adalah (0,23).

Berikut adalah 6 contoh lainnya soal parabola matematika beserta penyelesaiannya:

Soal 1:

Tentukan persamaan parabola yang memiliki titik puncak (2, -3) dan melalui titik (-1, 0).

Penyelesaian:

Karena titik puncak berada di (2, -3), maka rumus parabola dapat dituliskan sebagai y = a(x 2) 3. Selanjutnya, dengan menggunakan titik (-1, 0), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan menjadi 0 = a(-1 2) 3, sehingga a = -1/9.

Oleh karena itu, persamaan parabola yang dimaksud adalah y = -(1/9)(x 2) 3.

Soal 2:

Tentukan titik puncak dan panjang lintasan horizontal dari parabola y = -3x + 12x 9.

Penyelesaian:

Untuk menentukan titik puncak, kita dapat menggunakan rumus x = -b/2a, dengan a = -3 dan b = 12, sehingga x = 2. Substitusi x = 2 ke dalam persamaan parabola akan memberikan nilai y = -9.

Selanjutnya, untuk menentukan panjang lintasan horizontal, kita perlu menentukan kedua titik potong parabola dengan sumbu x.

Dalam hal ini, kita dapat menyelesaikan persamaan -3x + 12x 9 = 0 menggunakan rumus kuadrat, sehingga diperoleh dua akar yang berbeda, yaitu x = 1 dan x = 3.

Soal 3:

Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak (3, -5) dan asosiasi y = -2.

Penyelesaian:

Karena asosiasi parabola berada di bawah sumbu x, maka rumus parabola dapat dituliskan sebagai y = a(x 3) 5.

Selanjutnya, dengan menggunakan asosiasi y = -2, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan menjadi -2 = a(0 3) 5, sehingga a = 1/9.

Soal 4:

Tentukan titik potong parabola y = x 4x + 5 dengan sumbu y. Penyelesaian:

Titik potong parabola dengan sumbu y selalu terletak di titik (0, c), dengan c merupakan konstanta pada persamaan parabola.

Soal 5:

Tentukan persamaan parabola yang melalui titik (-2, 5) dan memiliki titik puncak (1, 3).

Penyelesaian:

Karena titik puncak berada di (1, 3), maka rumus parabola dapat dituliskan sebagai y = a(x 1) + 3.

Selanjutnya, dengan menggunakan titik (-2, 5), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan menjadi 5 = a(-2 1) + 3, sehingga a = 1/9.

Soal 6:

Tentukan koordinat titik potong parabola y = -2x + 4x 1 dengan sumbu x.

Penyelesaian:

Titik potong parabola dengan sumbu x terletak pada titik (c, 0), dengan c merupakan akar dari persamaan kuadrat -2x + 4x 1 = 0.

Kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut menggunakan rumus kuadrat, sehingga diperoleh dua akar yang berbeda, yaitu x = (2 3)/2.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas contoh soal parabola matematika dengan berbagai macam bentuk soal. Parabola merupakan salah satu bentuk fungsi kuadratik yang sangat penting dalam matematika dan memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Dengan memahami konsep dasar parabola dan cara menyelesaikan berbagai macam soal parabola, diharapkan pembaca dapat meningkatkan pemahaman dan kemampuan dalam matematika.

FAQs

1. Apa itu sumbu simetri pada parabola? Sumbu simetri pada parabola adalah garis yang memotong parabola menjadi dua bagian simetris. Garis ini selalu tegak lurus terhadap sumbu x jika parabola memiliki bentuk seperti y = ax^2 + bx + c.
2. Apa saja titik penting dari parabola? Titik penting dari parabola meliputi titik puncak (atau lembah), titik potong dengan sumbu x, titik potong dengan sumbu y, fokus, dan direktiks.
3. Apa bedanya parabola dengan fungsi kuadratik? Parabola adalah salah satu bentuk fungsi kuadratik, tetapi tidak semua fungsi kuadratik berbentuk parabola. Parabola memiliki persamaan umum y = ax^2 + bx + c, sedangkan fungsi kuadratik memiliki bentuk umum y = ax^2 + bx + c.
4. Bagaimana cara menentukan persamaan parabola jika diketahui titik puncak dan satu titik yang melalui parabola? Untuk menentukan persamaan parabola jika diketahui titik puncak dan satu titik yang melalui parabola, dapat digunakan persamaan umum parabola y k = 4p(x h)^2 dengan h dan k adalah koordinat titik puncak dan p adalah jarak antara titik puncak dan fokus.
5. Apa saja aplikasi dari parabola dalam kehidupan sehari-hari? Parabola memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, antara lain dalam desain bangunan, pencahayaan, optik, akustik, dan ilmu roket. Parabola juga digunakan dalam pembuatan alat musik seperti gitar dan biola.